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对于磋商李群的李代数最神奇的地方在于，尽管前者是李群中某少许上的地方导数空间，但这些导数确凿界说了统共这个词群体。

这也意味着统共这个词李群偏激群体行动，在咱们将要探索的风趣风趣上，全齐由其在恒等元近邻轻易小的邻域内的群体行动界说。

在李群中，咱们竟然不错在一粒沙子中看到一个寰宇！

广义实流形

李群亦然一个流形，即它在局部上雷同于欧几里得空间，这意味着其点不错通过参数方程逐块地绘图，这些方程将-维实数空间中包含原点的开集映射到其点的开邻域。这些逐块映射被称为图表（charts），而李群不错通过一个图集（atlas）来绘图，即这些图表的集会。

在大无数流形中，某少许的切空间仅仅阿谁点：最好线性贴近该流形的超平面空间，这个空间在数学上与维实数空间（ 维欧几里得空间）同构。东谈主们守望它在一般情况下对远隔该点的流形行动影响有限。而频繁情况下如实如斯。独一它们偏激切空间沿鸿沟兼容，就不错将轻易有界可微流形粘合在沿途，即最初，鸿沟具有“沟通体式”，即等距映射将一个的鸿沟映射到另一个的鸿沟，并反之亦然；其次，统一个等距映射也对两个流形沿鸿沟的切空间作念相同的映射。

这是在职意多维上界说实值函数的一种试验，这些函数是沿着不同的实数区间逐块界说的，其并集是统共这个词实数线。这种组合有可能在统共这些点的鸿沟处可微，导数趋奉，但高阶导数趋奉。举例，商量底下逐块界说的函数：

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在傍边双方，跟着

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一阶导数趋近于0。当x从负地方（左边）接近零时，导数为0；当x从正地方（右边）接近零时，导数为2x，因此一阶导数是趋奉的。但是，二阶导数在左边趋近于0，在右边趋近于2。它是不趋奉的。

对于实变量的实函数和实流形来说，情况甚而更糟。商量以下情况：

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这是一个光滑函数，即其统共阶的导数齐是趋奉的。为了讲明这少许，归纳讲明第n阶导数的气象是：

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其中P(x)是一个多项式，是以P(x) x^(-2n)是一个在x=0处有2n阶顶点的有理函数，因此第n阶导数从傍边双方齐趋近于0。

但即使统共导数齐存在，任何包含x=0的开区间内齐莫得有用的泰勒级数。对于实变量的实函数来说，即使是光滑函数也可能是病态的。更通用的例子是过渡或“越过”函数，

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以及任何具有紧支集的光滑函数（即无尽可微的函数，其非零集是紧的）。这些函数齐莫得有用的泰勒级数。

复数和李群

复变函数的情况与实变函数迥然相异。要是这么的函数在一个点的轻易小邻域内有一阶导数，那么该邻域内每个点的统共导数齐存在，况且，这些导数在该点界说了一个拘谨的泰勒级数，有用（拘谨至函数）于以该点为中心的任何圆盘，独一圆盘不包含函数的奇点。即拘谨半径是从该点到最近奇点的距离。

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李群的情况也雷同，但规模更为高大。李群亦然一个领路流形（analytic manifold），不仅在局部像-维实数空间那样。这个邻域中的群积由一个函数界说

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它将点对映射到邻域中的“积”点，这个函数在邻域内有一个有用、拘谨的泰勒级数。

二十世纪数学中最令东谈主难以置信且紧要的遵守之一是，任何群要是其乘积运算在各处齐仅需趋奉（即为拓扑群），同期又是一个流形（在局部像欧几里得空间ℝᴺ），那么这个群必定是一个李群。仅从趋奉的群乘积中就能界说切空间和导数，况且群乘积在每个地方齐是由相应的局部泰勒级数界说的。这个规模，历久以来被大卫·希尔伯特所怀疑，最终由Andrew Gleason、Deane Montgomery和Leo Zippin在1952年发现。

这终于科罚了希尔伯特的第五问题：

一个局部欧几里得趋奉群是否势必是一个李群？换句话说，一个拓扑群要是在局部像欧几里得空间，其群运算是趋奉的，那么这个群是否一定不错被赋予一个光滑的流形结构，使得群运算不仅是趋奉的，照旧光滑的（可微的）？

换句话说，莫得趋奉群不是李群，除了一些高度病态的例子。东谈主们必须作念一个“无小子群（no small subgroups）”假定——总有一个恒等元的邻域不包含任何非庸俗子群。换言之，恒等元的每个邻域必须至少包含一个元素z，界说了一个“转义序列”z， z²， z³， z⁴， … 最终冲破该邻域。

这一阵势的要道被称为群的同质性（group homogeneity），李群从其当作拓扑群的性质中袭取了这少许。

因此，群乘积在李群的每个点周围复制了恒等元周围的统共结构。每个邻域齐是恒等元邻域的同胚，如实是微分同胚的映射。

通过构建李群中的一参数子群，最终界说了导数。这些是通过李群界说的实数线的同构像旅途：

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况且它们必须老是通过群恒等元（为什么？）在零点0（即f(0)=id）。因此f是实数的指数函数。逆像是一个“对数”映射，将单参数群映射到实数线，况且恒等元的对数老是零点。不错通过迭代开方步调为任何李群成员∈构建一参数子群，围聚恒等元来界说上述气象的函数，使得f(1)=在区间[0，1]的密集子集上，然后通过群乘积在统共这个词ℝ的密集子集上。也即是说，咱们不错界说ʳ，其中r是0和1之间有限二进制伸开的任何有理实数，通过有限的迭代开方的乘积。然后，趋奉性假定标明，单参数群必须是趋奉旅途。

因此，每个李群∈的成员在恒等元的稳健小邻域内界说了一个指数函数和一个“对数”X=log()，其中exp(X)=，因为咱们也曾找到了exp(sX)=ˢ的风趣风趣。

这种迭代开方的主义由Henry Briggs在1620年用来规画他版块的“Napier’s Bones”的刻度，并规画他的对数表。

值得驻防的是，1930年代，这一主义再次被Johannes von Neumann和Barteels van der Waerden接受，通过使用纯代数的单参数子群意见来构建通过李群的单参数群旅途，当作科罚希尔伯特第五问题的惊东谈主方法，即要是一个拓扑群在局部是欧几里得的（即要是群乘法是趋奉的），那么令东谈主难以置信的是，它亦然无尽可微的。

由于李群在局部像欧几里得空间，第四色最新主页这些单参数群是通过ℝᴺ的趋奉旅途。在科罚希尔伯特第五问题的要道且格外非庸俗的方法是讲明这些趋奉旅途不错用来界说微分的意见，而这种意见使得旅途内容上是通过ℝᴺ的领路旅途。因此，趋奉性假定自动产生了切空间的意见。李群的恒等元的切空间是其李代数，群当作黎曼流形与其李代数之间的指数和对数映射就像咱们上头界说的那样。

要预计这些行动，请驻防，去掉0的复平面（即0被移除）连同乘法沿途组成了一个阿贝尔李群，其李代数是统共这个词复平面。当作一个实李代数，它是二维的，李代数基元素是i和1。

在李代数中探索风趣风趣

因此，咱们对指数函数和对数函数有了一个广义的意见，它们在处理的单参数子群时的行动与咱们纯熟的在ℝ上的函数全齐沟通。但极端地，单参数子群老是可交换的——乘积的法规并不遑急——事实上【BLK-194】kira★kira BLACK GAL 黒ギャル青姦露出-灼熱太陽の下でロリカワ潮吹き中出し- May，它要么是ℝ的同构副本，要么是一个圆。对数函数将李群中围聚恒等元的成员映射到李代数中0的邻域；指数函数则作念违犯的职责，因此用ℝᴺ中0的邻域的笛卡尔坐标绘图了李群的邻域。

李代数，就像任何流形的切空间一样，老是在一个域（频繁是实数）上的向量空间，是以了解向量和对应的内容是很道理的。单参数子群是李代数中直线射线的映像。由于李代数的成员老是代表在群恒等元处C¹旅途的切线（地方导数），底下这组较着是通过恒等元的C¹旅途偏激在李群恒等元处的切线：

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使用极限而不是导数来抒发统一事物的另一种形势是Trotter乘积公式：

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这即是李代数中向量和的风趣风趣。

详尽的李代数也在李括号或李积运算下顽固，即这种运算是双线性的、反对称的并闲散雅可比恒等式。

在李群中，其李括号不错通过几种形势界说。最初，“从基本道理”开赴，通过一组在恒等元处的切线来商量。咱们商量以下由参数s界说的旅途族偏激在恒等元处的切线：

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由于李代数是一个向量空间，上述操作从一个切线Y开动并将其调理为Ad(exp(sX))Y较着是线性的，咱们不错将运算符Ad(exp(sX))暗示为一个矩阵。不难讲明

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即Ad:➝GL(N，ℝ)是从李群到N×N实元素非奇异矩阵的一般线性（矩阵）群的同态。

矩阵群是李群，因为矩阵版块的指数和对数函数由它们在恒等元近邻的频繁泰勒级数界说，而s↦Ad(exp(sX))界说了通过矩阵李群的C¹（内容上是领路的）旅途。然后，矩阵李群中恒等元的切线即是Ad的映像，从而界说了原始李群中的李括号：

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底部的临了一个施展被称为编织恒等式（Braiding Identity）。

ad(X) Y被称为“由X对Y的小a追随”惟恐写稿：

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而Ad当然地被称为“大A追随”。

要是你比我更聪慧，你可能也曾驻防到上述方程式中一个看似较着的不一致或特地。极端是，我写下了雷同Y⁻¹的东西，而我莫得界说李群和李代数成员之间的任何乘积。而且，如实，“乘积”意味着好多事情。

为了赋予Y⁻¹风趣风趣，咱们从一个由函数 () ⁻¹界说的旅途开动，其中: ℝ➝界说了另一个通过李群的C¹旅途，使得(0)=id，况且，d/d(())，那处的切线，是李代数成员Y。然后 () ⁻¹亦然通过李群的C¹旅途，况且较着 (0) ⁻¹=id。后者旅途在那处有一个切线，是作用在Y上的某个线性算子Ad() Y。咱们将 Y⁻¹写为由旅途共轭操作()↦ () ⁻¹界说的旅途的切线的简写。

在矩阵李群中，不难发现ad(X) Y=[X， Y]=XY — YX，即李括号仅仅矩阵的交换子。

编织公式 Ad(exp(s X)) = exp(s ad(X)) 允许咱们将 Ad(exp(s X)) Y 暗示为 X 对 Y 的重迭李括号的宽广拘谨级数。

还有更多。证据上述界说，雅可比恒等式不外是以下声明：

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左边的李括号是李代数 中的李括号。右边的李括号是作用于李代数 的线性算子的李括号，右边的李括号来自于算子复合乘积。竣工写出来的上述声明是：

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ad(X) 恒久是李代数的同态，即它对于李括号以及和。

雅可比恒等式的第二个潜入直观需要一些迥殊的标记来证实。GL(N，ℝ)中在Ad下的像的子集是什么？它有一个特殊的标志和称呼。的一个内自同构是以下气象的映射：

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咱们将的统共内自同构的集会暗示为 Inn()。不难考据 如实是一个同构。然后 Ad() 是在 的恒等元处 的导数，因此 Ad() 是李代数的一个内自同构：

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不难考据李代数的内自同构如实对于李括号。此外，Inn() 是一个李群；正如咱们所见，它是一个矩阵李群。

趁便一提，不错通过第二个 Trotter 乘积公式给出李括号的另一个界说：

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现时回到雅可比恒等式的另一个潜入直观。它标明李括号是一个导数，即它闲散与普通导数沟通的莱布尼兹乘积规矩，这并不奇怪，因为李群的李代数的成员最终是地方导数。比拟以下的操作符 ad(X) 和 d/dx：

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驻防运算 ad(X) “莱布尼兹分派”在李括号上的形势与操作符 d/dx “莱布尼兹分派”在普通乘积上的形势全齐沟通。内容上，李代数的另一个含义是李群上统共导数的集会。

那么，李群 Inn() 的李代数 Lie(Inn()) 是什么呢？它恰是李代数 上导数的集会 Der()，这又是统共气象为 ad(X) 的小a追随算子的集会！

临了，咱们想知谈李群 与其在 GL(N，ℝ) 中的矩阵李群像之间的同态映射有多“同构”。咱们通过找出同态的核来作念到这少许，即哪些元素被 big A Ad:➝Inn() 映射到恒等元。不难泄漏这么的元素是群 的中心 ()，即统共与 的每个元素齐交换的闲居的阿贝尔李子群：

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ad:➝Der() 映射的相应核是统共与 的每个元素的李括号为零的元素的中心 ()：

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请仔细念念考上头的几段话；即使你花几天工夫来收受它们：我保证它们为你交融李群与其李代数之间的关系提供了坚实的基础。

李群偏激李代数之间有许多高大且直不雅的代数风趣风趣。正如咱们上头所看到的，这如实长短常奇妙且好意思艳的。因此，让咱们纪念一下上述几点，并用几个交换图来暗示。

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符“Lie”意味着找到“李代数”。是从到其内自同构的当然投影，与除以其中心()沟通。在图的右侧，它是从到对的导数的当然投影，与对于李括号的投影到以()为商的向量子空间沟通。

磋商李群中心时有一定的商定。频繁东谈主们指的是趋奉中心，这是一个阿贝尔李子群，领有非庸俗的李代数。因此，举例，SU(2) 被称为一个肤浅的李群，因为它莫得趋奉中心，其李代数成员齐具有非庸俗的换位关系。但是，有一个与恒等元间隔的闹翻中心，即由对角矩阵 diag(-1， -1)= - 1 给出的元素，它与统共元旧交换。因此，从严格的非李群表面风趣风趣上说，它并不肤浅。但是，正规子群是闹翻的，莫得李代数，因此有稍稍不同的商定。

事实上，李群的任何闹翻正规子群势必包含在闹翻中心中，这是Otto Schreier在1925年发现的规模。闹翻中心与李群的基本群密切相干：SO(3) 莫得闹翻中心，内容上它的中心是庸俗群 {id}。它的普域遮掩 SU(2) 有一个闹翻的中心群 {id，-1}≅ℤ₂。事实上，一个群的闹翻中心与其基本群同构是一个遑急规模。